Nie wiem czy Bóg istnieje, ale byłoby z korzyścią dla Jego reputacji, gdyby nie istniał" - Renard

Niestety, praca Riemanna napisana była bardzo zwięźle i raczej nie zawierała pełnych dowodów. Riemann nie wykazał również twierdzenia o rozmieszczeniu liczb pierwszych. Zaproponował za to dokładny wzór na funkcję (x), w którym wykorzystywał podaną przed chwilą funkcję R(x) oraz miejsca zerowe funkcji, nazywanej funkcją dzeta Riemanna. w tym momencie własności (x) splatają się z jedną z najbardziej znanych i, jak wielu uważa, najważniejszych hipotez współczesnej matematyki - hipotezą Riemanna. David Hilbert, zaliczany do najwybitniejszych umysłów przełomu XIX i XX wieku, orientujący się w niemal całej współczesnej mu matematyce, powiedział kiedyś podczas wykładu, że gdyby w efekcie dotknięcia czarodziejskiej różdżki zasnął i obudził się dopiero po 500 latach, to nie pytałby o to, jakie były przemiany dziejowe, polityczne, społeczne, ale spytałby, co wiadomo o miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna, bo to jest najważniejsze zagadnienie w ogóle. Funkcja ta dana jest wzorem Jest to właśnie funkcja dzeta Riemanna, którą w pewien dobrze znany specjalistom sposób rozszerza się na liczby zespolone. Hipoteza Riemanna dotyczy rozmieszczenia rozwiązań równania ?(?)=0. Rozwiązywanie równań ma liczne zastosowania, oczywiste nawet dla laika. Przypuśćmy, że szukamy pewnej wielkości; skądinąd znamy pewne związki, jakie ta wielkość powinna spełniać, ale nie raz i nie dwa związki te występują w postaci "uwikłanej", poszukiwana liczba nie jest dana żadnym konkretnym wzorem. Nasz problem sprowadza się więc do rozwiązania jednego (lub kilku) równań. Poszukiwanie rozwiązań równań wiąże się z szukaniem miejsc zerowych funkcji. Zobaczmy to na przykładzie - mamy rozwiązać następujące równanie: 7x5 - x = sin(x+3). Możemy je zapisać inaczej: 7x5 - x - sin(x+3) = 0. Celem naszym jest więc znalezienie wszystkich takich x, dla których funkcja f(x) = 7x5 + x - sin(x+3) przyjmuje wartość zero. Wiadomo, że miejscami zerowymi funkcji dzeta są liczby -2, -4, -6,..., wszystkie pozostałe zaś leżą w pewnym pasie (rysunek) (0 < x < 1) (liczby zespolone interpretujemy jako punkty na płaszczyźnie). Te, które znaleziono (a jest ich wiele), leżały na jednej, konkretnej prostej x = 1/2 . Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe zera leżą na tej prostej. Znając miejsca zerowe funkcji dzeta, można precyzyjniej odpowiedzieć na pytanie, ile jest liczb pierwszych mniejszych od zadanej. Hipoteza Riemanna do dziś nie została rozstrzygnięta, choć zaciekle atakuje ją wielu znakomitych matematyków. Taki bieg wydarzeń nie jest rzadkością w teorii liczb. Zaczyna się niewinnie, od prostego, zrozumiałego problemu, potem pojawiają się pojęcia trudniejsze, takie jak logarytmy naturalne, szeregi, funkcje nieelementarne, liczby zespolone, całki i... prawie wszystko, co wymyślono w matematyce. Teoria liczb, choć jest dziedziną samodzielną, ma niezwykle mocne i ważne powiązania z innymi działami matematyki, i to nawet takimi, które pozornie nie mają nic wspólnego z liczbami. Na przykładzie teorii liczb widać jedność matematyki. Bardzo odległe od siebie dziedziny mogą razem wytworzyć metody i techniki pozwalające rozwiązać najbardziej oporne problemy. Mimo dramatycznej specjalizacji w matematyce (ale przecież nie tylko w niej) wielkie wyniki uzyskuje się na styku dziedzin. Wróćmy jednak do własności funkcji (x). Pierwszy dowód twierdzenia o asymptotycznej równości funkcji (x) oraz x/lnx został podany dopiero w 1896 roku. Ogłosili go (niezależnie od siebie) Jacques Hadamard i Charles J. de la Vallée Poussin. Dowód ten nie zadowalał nawet autorów, był nienaturalny, długi i poprowadzony "okrężną drogą". Można było zrozumieć poszczególne kroki, ale nie bardzo chciały się one układać w przejrzystą całość. Poszukiwano więc dowodu prostszego, nie korzystającego z tak zaawansowanych metod. i dopiero w 1948 roku Atle Selberg i Paul Erdös zaproponowali elementarny dowód twierdzenia o liczbach pierwszych. Niestety, "elementarny" w tym przypadku nie znaczy "prosty". Co prawda, wszystkie poszczególne kroki dowodu są elementarne, ale jest ich tak dużo, i to powiązanych ze sobą w tak zadziwiająco skomplikowany sposób, że nie widać jasno całości. Być może taka jest natura twierdzenia, iż nie da się go przejrzyście udowodnić. Nasuwa się pytanie: po co to wszystko? Czy te wszystkie twierdzenia i hipotezy mogą się do czegoś konkretnego przydać? Co z tego, że być może kiedyś będziemy wiedzieli, ile jest par liczb bliźniaczych i poznamy dokładny rozkład liczb pierwszych? Nie wydaje się, by rozwiązanie takiego czy innego problemu natychmiast przysporzyło nam dochodu narodowego lub znalazło zastosowanie na przykład w konstrukcjach lotniczych. Rozstrzygnięcia hipotez matematycznych nie mają jednak jednoznacznego przełożenia na gotówkę. w tej nauce w badaniach często decydującą rolę odgrywa nieprzeparta chęć poznania, ta sama, która kazała człowiekowi zdobywać bieguny, najwyższe szczyty górskie i lecieć w kosmos. o teorii liczb mówiło się czasem, że jest najczystszą z czystych dziedzin matematycznych; o ile inne działy wyrosły z bardziej lub mniej bezpośrednich zastosowań, o tyle teorię liczb można by uważać za "sztukę dla sztuki". Tym niemniej... Na przykład uporczywe próby pokonania Wielkiego Twierdzenia Fermata, które jako problem matematyczny jest jedynie ciekawostką (gdyż od dawna było wiadomo, że rozwiązanie tego konkretnego równania nie ma znaczenia praktycznego ani nie pomoże w rozwiązywaniu podobnych równań), przyczyniły się istotnie do ogromnego rozwoju wielu dziedzin matematyki i rozwinięcia technik bardzo przydatnych w rozmaitych sytuacjach. Podobnie ataki na twierdzenie o rozkładzie liczb pierwszych spowodowały rozwój metod niezwykle użytecznych w teorii funkcji zmiennych zespolonych, prowadzących nawet do praktycznych zastosowań. Poszukiwanie wielkich liczb pierwszych też wydawało się tylko zabawą